QC - Kontrolloni llogaritjen kuantike me operatorët unitar, ndërhyrjen dhe ndërhyrjen

Foto nga Sagar Dani

E madhe. Sapo kemi përfunduar Pjesën 2 në Qubit (bit kuantike - blloku kryesor i ndërtimit për llogaritjen kuantike). Pra, si mund ta kontrollojmë? Për dallim nga llogaritjet klasike, ne nuk përdorim operacione logjike ose aritmetikë të zakonshme në kuotat. Nuk ka "ndërsa deklaratë" ose "deklaratë degëzuese" në llogaritjen kuantike. Në vend të kësaj, ne zhvillojmë operatorë unitar për të manipuluar kuotat me parimin e ndërhyrjes në mekanikën kuantike. Tinguj të zbukuruar, por në të vërtetë shumë të drejtpërdrejtë. Ne do të shqyrtojmë konceptin e operatorëve unitar. Si një shënim anësor, ne do të shqyrtojmë marrëdhëniet e tij me ekuacionin Schrodinger, kështu që ne nuk po hartojmë një koncept kundër natyrës. Më në fund, ne shikojmë në ngatërrim, një fenomen kuantik mistik.

Porta kuantike

Në kompjuterët klasikë, ne aplikojmë operatorë bazë logjikë (NUK, NAND, XOR, AND, OSE) në bitet për të krijuar operacione komplekse. Për shembull, në vijim është një shtues i vetëm me një bartës.

Kompjuterët kuantikë kanë operatorë themelorë krejtësisht të ndryshëm të quajtur porta kuantike. Ne nuk e rimarrë një program ekzistues C ++ për të ekzekutuar në një kompjuter kuantik. Të dy kanë operatorë të ndryshëm dhe llogaritja kuantike kërkon algoritme të ndryshme për të përfituar prej tyre. Në llogaritjen kuantike, gjithçka ka të bëjë me manipulimin e kuotave, ngatërrimet e tyre dhe matjen e tyre. Le të kthehemi në sferën e Bllokut. Konceptualisht, operacionet kompjuterike kuantike manipulojnë Φ και θ të superpozicionit për të lëvizur pikat përgjatë sipërfaqes së sferës së njësisë.

Të folurit matematikor, superpozicioni manipulohet me një operator linear U në formën e një matrice.

Për një qubit të vetëm, operatori është thjesht një matricë 2 × 2.

Ekuacioni i Schrodinger (opsionale)

Natyra duket naivisht e thjeshtë! Matematika është vetëm algjebër lineare që mësojmë në shkollë të mesme. Midis matjeve, shtetet manipulohen nga operatorët linearë duke përdorur shumëzimin e matricës. Kur matet, superpozicioni shembet. Ironikisht, lineariteti është një zhgënjim i madh për tifozët e sci-fi. Kjo është një pronë e përgjithshme e dinamikës kuantike. Përndryshe, udhëtimi me kohë ose udhëtimi më shpejt se drita është gjithçka e mundur. Nëse fillojmë me këtë operator linear (një operator unitar të jetë i saktë), mund të nxjerrim ekuacionin Schrodinger, një gur themeli i mekanikës kuantike në përshkrimin se si shtetet evoluojnë në mekanikën kuantike. Nga këndvështrimi i kundërt, ekuacioni i Schrodinger përfundon linearitetin e natyrës.

burim

Këtu, ne mund të rishkruajmë ekuacionin Schrodinger si

ku H është një hermetik. Ajo tregon se si shtetet evoluojnë në natyrë lineare.

Ekuacioni është linear, d.m.th nëse të dy ψ1 dhe ψ2 janë zgjidhje të vlefshme për ekuacionin Schrodinger,

kombinimi i saj linear është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit.

Nëse | 0⟩ dhe | 1⟩ janë gjendje të mundshme të një sistemi, kombinimi i tij linear do të jetë gjendja e tij e përgjithshme - ky është parimi i supozimit në llogaritjen kuantike.

unik

Bota jonë fizike nuk lejon të gjithë operatorët linearë të mundshëm. Operatori duhet të jetë unitar dhe të përmbushë kërkesat e mëposhtme.

ku U † është konjugati i zhvendosur, kompleks i U. Për shembull:

Matematikisht, operatori unitar ruan normat. Kjo është një veti e mrekullueshme për të mbajtur të barabartë probabilitetin e plotë me një pas transformimit të shtetit dhe për të mbajtur superpozicionin në sipërfaqen e sferës së njësisë.

Nëse shikojmë zgjidhjen për ekuacionin Schrodinger më poshtë, natyra i bindet të njëjtit rregull unitar. H është një Hermitare (lidhja komplekse e vendosur e një Hermiti është e barabartë me vetë). Shumëzimi i operatorit me konjugimin e tij të ndërlikuar të kompleksit është i barabartë me matricën e identitetit.

Më poshtë është një shembull i H ku ka një fushë magnetike uniforme E₀ në drejtimin z.

Aplikimi i operacionit unitar në | ψ⟩ rezulton në një rotacion në boshtin z.

Por cili është kuptimi i vërtetë i unitarit në botën reale? Do të thotë që operacionet janë të kthyeshme. Për çdo operacion të mundshëm, ekziston një tjetër që mund të prish veprimin. Ashtu si shikimi i një filmi, ju mund ta luani atë përpara dhe natyra i lejon homologut të saj U † të luajë videon prapa. Në të vërtetë, ju nuk mund të vini re nëse jeni duke luajtur videon përpara ose prapa. Pothuajse të gjitha ligjet fizike janë të kthyeshme nga koha. Përjashtimet e pakta përfshijnë matjen në dinamikën kuantike dhe ligjin e dytë të termodinamikës. Kur hartoni një algoritëm kuantik, kjo është shumë e rëndësishme. Operacioni ekskluziv OS (XOR) në një kompjuter klasik nuk është i kthyeshëm. Informacioni humbet. Duke pasur parasysh një prodhim prej 1, ne nuk mund të dallojmë nëse inputi origjinal është (0, 1) ose (1, 0).

Në llogaritjen kuantike, ne i quajmë operatorët si porta kuantike. Kur hartojmë një portë kuantike, sigurohemi që të jetë unitar, d.m.th do të ketë një portë tjetër kuantike që mund ta kthejë gjendjen përsëri në origjinalin e saj. Kjo është e rëndësishme pasi

nëse një operator është unitar, ai mund të implementohet në një kompjuter kuantik.

Sapo të vërtetohet uniteti, inxhinierët nuk duhet të kenë probleme për ta zbatuar atë, të paktën teorikisht. Për shembull, kompjuterët IBM Q, të përbërë nga qarqe mbivendosëse, përdorin impulse mikrovalë me frekuencë të ndryshme dhe kohëzgjatje për të kontrolluar kuubitet përgjatë sipërfaqes së sferës Bloch.

Për të arritur unitar, ne ndonjëherë dalim një pjesë të inputit për të përmbushur këtë kërkesë, si ajo më poshtë madje duket e tepërt.

Le të shohim një nga portat kuantike më të zakonshme, portën Hadamard e cila operatori linear është përcaktuar si matricë e mëposhtme.

ose në shënimin Dirac

Kur ne e përdorim operatorin në një gjendje të rrotulluar ose në një gjendje poshtë-rrotulluese, ne i ndryshojmë supozimet në:

Nëse matet, të dy kanë një shans të barabartë të rrotullohen ose të rrotullohen. Nëse e aplikojmë përsëri portën, ajo kthehet në gjendjen origjinale.

burim

dmth, konjugati i transpozuar i Hadamard është vetë porta e Hadamard.

Kur aplikojmë UU, rikthehet në inputin origjinal.

Prandaj, porta e Hadamard është unitare.

Llogaritja kuantike bazohet në ndërhyrjen dhe ngatërrimin. Edhe pse ne mund të kuptojmë llogaritjen kuantike në mënyrë matematike pa i kuptuar këto fenomene, le ta demonstrojmë shpejt.

ndërhyrje

Valët ndërhyjnë me njëra-tjetrën në mënyrë konstruktive ose destruktive. Për shembull, prodhimi mund të zmadhohet ose rrafshohet në varësi të fazës relative të valëve të hyrjes.

Cili është roli i ndërhyrjes në llogaritjen kuantike? Le të kryejmë disa eksperimente.

Interferometri Mach Zehnder (burimi)

Në eksperimentin e parë, ne përgatisim të gjitha fotonet hyrëse që të kemi një gjendje polarizimi | 0⟩. Kjo rrymë e fotoneve të polarizuara është e ndarë në mënyrë të barabartë nga pozicioni i ndarjes së rrezes B në 45 °, d.m.th do të ndahet rrezja në dy drita të polarizuara ortogonisht dhe do të dalë në shtigje të ndara. Pastaj ne përdorim pasqyra për të pasqyruar fotonet në dy detektorë të veçantë dhe për të matur intensitetin. Nga këndvështrimi i mekanikës klasike, fotonet u ndanë në dy shtigje të veçanta dhe goditën detektorët në mënyrë të barabartë.

Në eksperimentin e dytë më lart, vendosëm një tjetër ndarës rrezesh përpara zbuluesve. Me anë të intuitës, ndarësit e trarëve veprojnë të pavarur nga njëri-tjetri dhe ndajnë një rrjedhë të lehtë në dy gjysmën. Të dy detektorët duhet të zbulojnë gjysmën e trarëve të dritës. Probabiliteti i një fotoni që arrin te detektori D₀ duke përdorur 1-shteg në të kuq është:

Mundësia totale për një foton për të arritur D reach është 1/2 nga 1-shtegu ose nga 0-shtegu. Kështu që të dy detektorët zbulojnë gjysmën e fotoneve.

Por kjo nuk përputhet me rezultatin eksperimental! Vetëm D₀ zbulon dritën. Le të modelojmë tranzicionin shtetëror për një ndarje rrezesh me një portë Hadamard. Pra, për eksperimentin e parë, gjendja e fotonit pas ndarjes është

Kur matet, gjysma e tyre do të jenë | 0⟩ dhe gjysma e tyre do të jenë | 1⟩. Rrezet e dritës ndahen në mënyrë të barabartë në dy shtigje të ndryshme. Pra, porta jonë Hadamard do të përputhet me llogaritjen klasike. Por le të shohim se çfarë ndodh në eksperimentin e dytë. Siç tregohet më parë, nëse përgatisim të gjitha fotonet hyrëse të jenë | 0⟩ dhe i kalojmë ato në dy porta Hadamard, të gjitha fotonet përsëri do të jenë | 0⟩. Kështu që kur matet, vetëm D₀ do të zbulojë rrezen e dritës. Asnjë nuk do të arrijë në D₁ për aq kohë sa ne nuk bëjmë asnjë matje para të dy detektorëve. Eksperimentet konfirmojnë se llogaritja kuantike është e saktë, jo llogaritja klasike. Le të shohim se si ndërhyrja luan një rol këtu në portën e dytë të Hadamard.

Siç tregohet më poshtë, përbërësit e së njëjtës bazë të llogaritjes ndërhyjnë në mënyrë konstruktive ose shkatërruese me njëri-tjetrin për të prodhuar rezultatin e saktë eksperimental.

Ne mund të përgatisim rrezen e fotonit të hyrjes që të jetë | 1⟩ dhe përsëri të bëjmë llogaritjen. Gjendja pas ndarjes së parë është e ndryshme nga ajo origjinale nga një fazë e π. Pra, nëse matim tani, të dyja eksperimentet do të bëjnë të njëjtat matje.

Sidoqoftë, kur të aplikoni përsëri portën e Hadamardit, një do të prodhojë | 0⟩ dhe një do të prodhojë | 1⟩. Ndërhyrja prodhon mundësi komplekse.

Më lejoni të bëj një eksperiment më shumë argëtues i cili ka një implikim shumë domethënës në sigurinë në internet.

Nëse vendosim një tjetër detektor Dx pas ndarjes së parë, eksperimenti tregon se të dy detektorët do të zbulojnë gjysmën e fotoneve tani. A përputhet kjo me llogaritjen në mekanikën kuantike? Në ekuacionin më poshtë, kur shtojmë një matje pas ndarësit të parë, ne detyrojmë një kolaps në supozim. Rezultati përfundimtar do të jetë i ndryshëm nga ai pa detektor shtesë dhe përputhet me rezultatin eksperimental.

Natyra na thotë se nëse e dini se çfarë shtegu merr fotoni, të dy detektorët do të zbulojnë gjysmën e fotoneve. Në fakt, ne mund ta arrijmë atë vetëm me një detektor vetëm në një nga shtigjet. Nëse nuk bëhet asnjë matje para të dy detektorëve, të gjitha fotonet përfundojnë në detektorin D₀ nëse fotoni është i përgatitur të jetë | 0⟩. Përsëri, intuita na çon në përfundimin e gabuar ndërsa ekuacionet kuantike mbeten të besueshme.

Ky fenomen ka një implikim kritik. Matja shtesë shkatërron ndërhyrjen origjinale në shembullin tonë. Gjendja e një sistemi ndryshohet pas një matjeje. Ky është një nga motivimet kryesore prapa kriptografisë kuantike. Ju mund të hartoni një algoritëm të tillë që nëse një haker përgjon (mat) mesazhin midis jush dhe dërguesit, mund të zbuloni një ndërhyrje të tillë pavarësisht se sa i butë mund të jetë matja. Sepse modeli i matjes do të jetë i ndryshëm nëse përgjohet. Teorema e no-klonimit në mekanikën kuantike pretendon se nuk mund të kopjohet saktësisht një gjendje kuantike. Kështu që hakeri nuk mund të kopjojë dhe rishape mesazhin origjinal gjithashtu.

Përtej simulimit kuantik

Nëse jeni fizikan, mund të përfitoni nga sjellja e ndërhyrjes në portat kuantike për të simuluar të njëjtën ndërhyrje në botët atomike. Metodat klasike funksionojnë me teorinë e probabilitetit me vlera më të mëdha ose të barabarta zero. Supozon pavarësi që nuk është e vërtetë në eksperimente.

Mekanizmi kuantik pretendon se ky model është i gabuar dhe prezanton një model me numra komplekse dhe negativë. Në vend që të përdorë teorinë e probabilitetit, ai përdor ndërhyrjen për të modeluar problemin.

Atëherë, çfarë të mirë sjell ajo për jo-Fizikantin? Ndërhyrja mund të trajtohet si i njëjti mekanizëm si një operator unitar. Mund të implementohet lehtësisht në një kompjuter kuantik. Matematikisht, operatori unitar është një matricë. Ndërsa numri i qubit rritet, ne kemi një rritje eksponenciale të koeficientëve me të cilët mund të luajmë. Ky operator unitar (ndërhyrje në sytë e Fizikantit) na lejon të manipulojmë të gjithë këta koeficientë në një operacion të vetëm që hap derën për manipulime masive të të dhënave.

ngatërresë

Në përgjithësi, shkencëtarët besojnë se pa mashtrim, algoritmet kuantike nuk mund të tregojnë epërsi ndaj algoritmeve klasike. Fatkeqësisht, ne nuk i kuptojmë mirë arsyet dhe për këtë arsye, ne nuk dimë se si ta përshtatim një algoritëm për të përfituar nga potenciali i tij i plotë. Kjo është arsyeja pse ngatërrimi përmendet shpesh kur prezantohet llogaritja kuantike, por jo shumë më pas. Për këtë arsye, ne do të shpjegojmë se çfarë është ngatërrimi në këtë pjesë. Shpresoj se ju jeni shkencëtari për të thyer sekretin.

Shqyrtoni superpozicionin e një dy kubitësh.

ku | 10> do të thotë që dy grimca janë përkatësisht në një rrotullim poshtë dhe lart.

Konsideroni gjendjen e mëposhtme të përbërë:

A mund ta ndajmë gjendjen e përbërë përsëri në dy shtete individuale si,

Nuk mundemi sepse kërkon:

Mekanika kuantike demonstron një koncept jo intuitiv. Në mekanikën klasike, ne besojmë se të kuptuarit e të gjithë sistemit mund të bëhet duke kuptuar mirë secilën nën-komponentë. Por në mekanikën kuantike,

Siç tregohet më parë, ne mund të modelojmë gjendjen e përbërë dhe të bëjmë parashikime të matjes në mënyrë perfekte.

Por, ne nuk mund ta përshkruajmë ose kuptojmë atë si dy përbërës të pavarur.

E imagjinoj këtë skenar si një çift i martuar për 50-vjet. Ata gjithmonë do të bien dakord se çfarë të bëjnë, por ju nuk mund t'i gjeni përgjigjet kur i trajtoni si persona të veçantë. Ky është një skenar tepër i thjeshtuar. Ka shumë gjendje të mundshme të ngatërrimit

dhe do të jetë shumë më e vështirë për t'i përshkruar ato kur të rritet numri i kubeve. Kur kryejmë operacione kuantike, ne e dimë se si përbërësit lidhen (ngatërrohen). Por para çdo matjeje, vlerat e sakta mbeten të hapura. Mashtrimi prodhon korrelacione që janë shumë më të pasura dhe ka të ngjarë shumë më të vështirë për një algoritëm klasik të imitojë në mënyrë efikase.

tjetër

Tani, ne e dimë se si të manipulojmë kuotat me operacione unitare. Por, për ata që janë të interesuar në algoritme kuantike, duhet të dimë se cili është kufizimi së pari. Përndryshe, mund të anashkaloni se cilat gjëra janë të vështira në llogaritjen kuantike. Por për ata që duan të dinë më shumë rreth portës kuantike së pari, mund të lexoni artikullin e dytë përpara këtij të parit.